簡介 Trifocal Tensor（二）

本篇文章接續前文介紹 trifocal tensor 的性質。

Epipolar lines

前文提過 Point-line-line correspondence 的式子為： $$l'^T(\sum x^iT_i)l''=0$$ ，但如果 l' 或 l'' 為 x 對應的 epipolar line 的話則產生以下式子： $$l'^T(\sum x^iT_i)=\mathbf{0}^T \\ (\sum x^iT_i) l'' = \boldsymbol{0}$$ 因此只要有第一個 view 上的點 x 以及 trifocal tensors $T_i$ 就能算出這兩條對應的 epipolar lines；也因此利用 epipolar lines 的交點便能算出在第二個 view 與第三個 view 上的 epipole $\mathbf{e'}$ 與 $\mathbf{e''}$：

• $T_i$ 的 left null vectors 的交點為 $\mathbf{e'}$
• $T_i$ 的 right null vectors 的交點為 $\mathbf{e''}$

Fundamental matrices

在給定 trifocal tensor 之後，我們可以算出第一個 view 與第二個 view 的 homography： $$\mathbf{x'} = [T_1, T_2, T_3]l'' \mathbf{x}$$ 兩邊加上第二個 view 的 epipole 外積可得 epipolar line： $$l' = [e']_{\times}\mathbf{x'} = [e']_{\times}[T_1, T_2, T_3]l'' \mathbf{x}$$ 其中的 $[e']_{\times}[T_1, T_2, T_3]l''$ 即為 fundamental matrix。為了預防 degenerate case，我們用第三個 view 的 epipole $\mathbf{e''}$ 代替 $l''$，結果即為可用 trifocal tensor 算出 fundamental matrix： $$F_{21}=[e']_{\times}[T_1, T_2, T_3]e'' \\ F_{31}=[e'']_{\times}[T_1, T_2, T_3]e'$$

Camera matrices

利用 trifocal tensor 算出 epipole 後，也可以直接算出 camera matrices： $$P'=[[T_1, T_2, T_3]e'' | e'] \\ P'' = [(e''e''^T-I)[T_1^T, T_2^T, T_3^T]e' | e'']$$ 詳細的證明可參考 Multiple View Geometry 書中的 15.1.5。