簡介 Trifocal Tensor（二）

本篇文章接續前文介紹 trifocal tensor 的性質。

Epipolar lines

前文提過 Point-line-line correspondence 的式子為：\[l'^T(\sum x^iT_i)l''=0\]，但如果 l' 或 l'' 為 x 對應的 epipolar line 的話則產生以下式子： \[ l'^T(\sum x^iT_i)=\mathbf{0}^T \\ (\sum x^iT_i) l'' = \boldsymbol{0} \]因此只要有第一個 view 上的點 x 以及 trifocal tensors \(T_i\) 就能算出這兩條對應的 epipolar lines；也因此利用 epipolar lines 的交點便能算出在第二個 view 與第三個 view 上的 epipole \(\mathbf{e'}\) 與 \(\mathbf{e''}\)：

• \(T_i\) 的 left null vectors 的交點為 \(\mathbf{e'}\)
• \(T_i\) 的 right null vectors 的交點為 \(\mathbf{e''}\)

Fundamental matrices

在給定 trifocal tensor 之後，我們可以算出第一個 view 與第二個 view 的 homography： \[ \mathbf{x'} = [T_1, T_2, T_3]l'' \mathbf{x} \]兩邊加上第二個 view 的 epipole 外積可得 epipolar line： \[ l' = [e']_{\times}\mathbf{x'} = [e']_{\times}[T_1, T_2, T_3]l'' \mathbf{x} \]其中的 \( [e']_{\times}[T_1, T_2, T_3]l''\) 即為 fundamental matrix。為了預防 degenerate case，我們用第三個 view 的 epipole \(\mathbf{e''}\) 代替 \(l''\)，結果即為可用 trifocal tensor 算出 fundamental matrix： \[ F_{21}=[e']_{\times}[T_1, T_2, T_3]e'' \\ F_{31}=[e'']_{\times}[T_1, T_2, T_3]e' \]

Camera matrices

利用 trifocal tensor 算出 epipole 後，也可以直接算出 camera matrices： \[ P'=[[T_1, T_2, T_3]e'' | e'] \\ P'' = [(e''e''^T-I)[T_1^T, T_2^T, T_3^T]e' | e''] \]詳細的證明可參考 Multiple View Geometry 書中的 15.1.5。