三維空間轉換與李理論（五）

先複習以前寫過的相關文章：

• 三維空間旋轉
  
• 關於三維空間轉換的更多筆記
• Quaternion 四元數簡介 
• 李群、李代數與三維空間旋轉 Lie Group & Lie Algebra
• SO(3) 上的李代數求導數 
• 三維空間轉換與李理論（一）
• 三維空間轉換與李理論（二）
• 三維空間轉換與李理論（三）
• 三維空間轉換與李理論（四）
  

本文將以參考資料 [1, 2, 3, 4] 的內容為基礎整理出一份完整的筆記。

切線空間的另一個例子：三維旋轉 SO(3)

SO(3) 的 identity 為 $I_3$，因此我們想要找的是在 $I_3$ 的切線空間。於前文李群、李代數與三維空間旋轉 Lie Group & Lie Algebra中已經推導過式子： $$\dot{R}=\omega_{\times} = \begin{bmatrix} 0 & -\omega_z & \omega_y\\ \omega_z & 0 & -\omega_x\\ -\omega_y & \omega_x & 0 \end{bmatrix} \in \mathfrak{so}(3)$$ 此李代數對應的向量空間為 $\mathbb{R}^3$ 以 $\mathbf{\omega}=[\omega_x, \omega_y, \omega_z]^T$ 來表示。在此例子中我們可以定義其 hat 與 vee operators：

• hat:  $\mathbf{\omega}^{\wedge}=\omega_{\times}$
• vee: $\omega_{\times}^{\vee} = \mathbf{\omega}$
  

Exponential map & logarithmic map

前面提過 exp map 為李代數至李群的轉換，而 log map 是李群至李代數的轉換，以下用 SO(2) 的例子來解釋 exp map 及 log map。

SO(2) 的李群為 R_{2 \times 2}，李代數為 $\theta_{\times} = \theta \cdot 1_{\times}$，因此 exp map 及 log map 的關係為：

• $R = exp(\theta_{\times})$
• $\theta_{\times} = log(R)$

我們可以用泰勒展開式來展開 $exp(\theta_{\times})$，會得到以下結果： $$exp(\theta_{\times}) = I\ cos\theta + 1_{\times}\ sin\theta=\begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta\\ sin\theta & cos\theta \end{bmatrix}$$ 另外在 [2] 中用了大寫的記號 Exp 及 Log，代表了連著 hat/vee operators 將李群與李代數對應的向量空間直接做轉換。下圖為 [2] 中的示意圖：

SO(3) 與 SE(3) 的 exp map & log map

我們想要算的是由李代數 $\mathfrak{so}(3)$ 的向量空間 $\omega$ 映射至其李群 SO(3)。把 $\omega$ 分解成 $\theta n$，而 $\theta$ 是此向量的 norm，在前文中已經推導出結果： $$exp(\omega^{\wedge})=cos\theta I+(1-cos\theta)nn^T+sin\theta n^{\wedge} \\ \equiv I_3+\frac{sin\theta}{\theta}\omega^{\wedge}+\frac{1-cos\theta}{\theta^2}(\omega^\wedge)^2$$ 也可以直接從 $\omega$ 轉換至 quaternion，當 $\omega$ 為 $\mathbf{0}$ 時 exp map 後的 quaternion 為 $[1, 0, 0, 1]^T$，而一般式為：(Eq. 11) $$e_q^{\omega}=[cos\frac{\left | \mathbf{\omega} \right |}{2}, \frac{sin\frac{\left | \mathbf{\omega} \right |}{2}}{\left | \mathbf{\omega} \right |}\mathbf{\omega}]^T$$ 而從旋轉矩陣及 quaternion 的 log map 分別為 [1] 中的式 (9.16) 與 (9.17)。

SE(3) 的 exp map 及 log map 在 [1] 中的式 (9.22) 與 (9.24-9.25) 有詳細解說。

李群的運算子

由於有了 exp map 以及李群本身的運算子，我們可以定義李群的加法與減法運算子：

• 加法：$X \oplus \omega \doteq X \cdot Exp(\omega)$
• 減法：$Y \ominus X \doteq Log(X^{-1}\cdot Y)$
  

利用這兩個運算子，我們便可以直接將李群與一個向量相加或相減了。

Adjoint 矩陣

我們用 [2] 的示意圖來解釋 adjoint 的概念：

由上圖的第二式可知 $X$ 在 $\oplus$ 之左側與右側會對應到不同的向量才會變成相同的李群 $Y$。Adjoint 便是這兩個不同向量之間的變換關係式。Adjoint 與 adjoint matrix 的詳細推導可以參考 [2] 的式 (29) 至 (34)。

 

參考資料

[1] A tutorial on SE(3) transformation parameterizations and on-manifold optimization

[2] A micro Lie theory for state estimation in robotic

[3] Lie theory cheat sheet 

[4] Lie theory for the roboticis